Votre Guide pour Résoudre les Équations Quadratiques !

L'Équation Quadratique et ses Cas de Figures : Résolution sur $\mathbb{IR}$ et $\mathbb{IC}$

L'équation quadratique est une équation algébrique de degré 2 sous la forme générale :

$$ax^2 + bx + c = 0$$

où $a$, $b$ et $\mathrm{c\; sont\; des\; coefficients\; réels\; et }$$a \neq 0$. Ce type d'équation est très présent dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences appliquées, car il modélise une grande variété de phénomènes physiques et géométriques.

Dans cet article, nous allons explorer les cas de figure qui peuvent se présenter lorsqu'on résout une équation quadratique, aussi bien dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ que dans l'ensemble des complexes C.  

$\mathbb{Nous\; verrons\; également\; comment\; résoudre\; ces\; équations\; en\; fonction\; des\; différentes\; situations\; qui\; se\; présentent.}$

1. L’Équation Quadratique sur $\mathbb{R}$ : Cas de Figure et Résolution

Lorsqu'une équation quadratique est résolue sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$, le discriminant, noté $\Delta$, joue un rôle fondamental pour déterminer le nombre et la nature des solutions. Le discriminant est donné par la formule :

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

En fonction de la valeur du discriminant, nous avons trois cas de figure distincts :

Cas 1 : $\Delta > 0$,   Deux solutions réelles distinctes

Si le discriminant est strictement positif ($\Delta > 0$), l’équation quadratique admet deux solutions réelles distinctes. Ces solutions peuvent être trouvées à l'aide de la formule générale de résolution de l'équation quadratique :

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Les solutions sont réelles et distinctes, et le discriminant $\Delta$représente la distance entre les deux racines sur la droite réelle.

Cas 2 : $\mathrm{\Delta }=\mathrm{0 }\mathrm{, \; Une\; solution\; réelle\; double}$

Si le discriminant est nul ($\Delta = 0$), l’équation quadratique admet une solution réelle double, aussi appelée racine double. La solution unique est donnée par :

$$x = \frac{-b}{2a}$$

Dans ce cas, les deux racines sont égales, et la parabole associée à l’équation touche l'axe des abscisses en un seul point.

Cas 3 : $\Delta < 0$  Aucune solution réelle

Si le discriminant est négatif ($\Delta < 0$), l’équation quadratique n'a pas de solutions réelles. En effet, la racine carrée de $\Delta$ n'est pas définie dans $\mathbb{R}$. Dans ce cas, les solutions sont complexes, et nous devons passer à la résolution dans l'ensemble des complexes $\mathbb{C}$.

2. L’Équation Quadratique sur $\mathbb{C}$ : Résolution des Équations avec un Discriminant Négatif

Lorsqu'une équation quadratique a un discriminant négatif ($\Delta < 0$), il est nécessaire de passer à l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, car les racines carrées de nombres négatifs sont définies dans cet ensemble.

Dans le cas où $\mathrm{\Delta }<\mathrm{0,\; les\; solutions\; peuvent\; être\; écrites\; comme\; suit\; :}$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

​, où $i$ est l'unité imaginaire ($i^2 = -1$).

Ainsi, les solutions deviennent :

$$x_1 = \frac{-b + i \sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b - i \sqrt{-\Delta}}{2a}$$

Ces solutions sont conjuguées complexes, ce qui signifie qu'elles sont symétriques par rapport à l'axe réel dans le plan complexe. Elles peuvent être exprimées sous la forme :

$$x_1 = \alpha + i\beta \quad \text{et} \quad x_2 = \alpha - i\beta$$

où $\alpha = \frac{-b}{2a}$ est la partie réelle et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$ est la partie imaginaire des racines.

3. Résolution d'Inéquations Quadratiques

Les inéquations quadratiques sont des inéquations sous la forme :

$$ax^2 + bx + c \leq 0 \quad \text{ou} \quad ax^2 + bx + c \geq 0$$

La résolution des inéquations quadratiques dépend du discriminant et des solutions de l'équation associée. Les trois cas de figure sont similaires à ceux de l’équation quadratique :

Cas 1 : $\mathrm{\Delta }>\mathrm{0\; Deux\; solutions\; distinctes}$

Dans ce cas, l’inéquation aura des solutions entre les deux racines si $a>0$, ou à l’extérieur des deux racines si $a < 0$. La solution de l’inéquation se trouve en étudiant le signe du polynôme entre les racines et à l’extérieur des racines.

Cas 2 : $\mathrm{\Delta }=\mathrm{0\; ,\; Une\; solution\; double}$

Si $\Delta = 0$, l’inéquation aura des solutions sur un seul point, la solution double de l’équation quadratique.

Cas 3 : $\Delta < 0$  – Pas de solutions réelles

Si $\Delta < 0$, l’inéquation n'a pas de solutions réelles, car la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

 

Voici un exercice d'entraînement sur les équations quadratiques. L'objectif est de vous familiariser avec différentes situations possibles en fonction du discriminant et de résoudre les équations.

Exercice 1 : Équations Quadratiques à Résoudre

1. $x^2 - 5x + 6 = 0$
   

2. $2x^2 + 3x - 2 = 0$
   

3. $3x^2-7x+2=0$

4. $x^2 + 4x + 4 = 0$
   

5. $4x^2 - 12x + 9 = 0$
   

6. $2x^2 + x - 3 = 0$
   

7. $x^2 - 6x + 9 = 0$
   

8. $x^2+5x+6=0$

9. $3x^2 + 4x - 5 = 0$
   

10. $x^2-3x-4=0$

11. $5x^2+10x+5=0$

12. $x^2 + 3x - 4 = 0$
    

13. $2x^2-5x+2=0$

14. $6x^2+7x-3=0$

15. $4x^2 - 16x + 16 = 0$
    

16. $x^2-9x+20=0$

17. $2x^2+5x-3=0$

18. $3x^2 - 2x - 8 = 0$
    

19. $x^2 + 2x - 8 = 0$
    

20. $x^2-4x+3=0$

21. $2x^2 + x - 6 = 0$
    

22. $5x^2-3x+2=0$

23. $x^2 - 8x + 16 = 0$
    

24. $3x^2+2x+1=0$

25. $x^2 + 4x - 12 = 0$
    

26. $4x^2 - 8x - 9 = 0$
    

27. $2x^2 - 3x - 2 = 0$
    

28. $3x^2 - 10x + 3 = 0$

29. $x^2 + 6x + 8 = 0$
    

30. $x^2-5x+4=0$

31. $2x^2 + 7x - 3 = 0$
    

32. $x^2-2x-15=0$

33. $4x^2 + 5x - 7 = 0$
    

34. $x^2+9x+20=0$

35. $x^2-4x+1=0$

36. $x^2 - 3x - 10 = 0$
    

37. $x^2 + 6x - 10 = 0$
    

38. $2x^2 - 4x + 1 = 0$
    

39. $5x^2+x-2=0$

40. $x^2-5x+8=0$

41. $3x^2 - 5x - 6 = 0$
    

42. $2x^2 + 5x - 1 = 0$
    

43. $x^2+3x-9=0$

44. $4x^2 - 8x - 3 = 0$
    

45. $x^2 + 7x + 10 = 0$
    

46. $2x^2 - 6x + 4 = 0$
    

47. $3x^2+6x-7=0$

48. $x^2-2x+5=0$

49. $2x^2 - 3x + 1 = 0$
    

50. $x^2 + 8x + 12 = 0$
    

Exercice 2:  Inéquations Quadratiques à Résoudre

1. $x^2-5x+6\le 0$

2. $2x^2+3x-2>0$

3. $x^2-4x+3\ge 0$

4. $4x^2 - 12x + 9 < 0$
   

5. $3x^2-7x+2\le 0$

6. $x^2 + 4x - 12 \geq 0$
   

7. $2x^2 + x - 3 < 0$
   

8. $x^2 + 5x + 6 > 0$
   

9. $3x^2 + 4x - 5 \geq 0$
   

10. $x^2 - 3x - 4 < 0$
    

11. $5x^2 + 10x + 5 \geq 0$
    

12. $2x^2 + x - 6 < 0$
    

13. $3x^2 - 2x - 8 \geq 0$
    

14. $x^2-9x+20>0$

15. $6x^2+7x-3\le 0$

16. $2x^2-3x-2\ge 0$

17. $x^2-5x+8<0$

18. $x^2+6x-10\ge 0$

19. $2x^2 - 4x + 1 > 0$
    

20. $3x^2 - 4x + 1 \leq 0$
    

21. $4x^2 - 8x - 3 \geq 0$
    

22. $x^2+9x+20<0$

23. $x^2 + 6x - 10 > 0$
    

24. $2x^2 + 7x - 3 \leq 0$
    

25. $x^2-2x-15>0$

26. $3x^2 + 6x - 7 \geq 0$
    

27. $x^2-3x-10\le 0$

28. $5x^2 + x - 2 > 0$
    

29. $2x^2 - 6x + 4 \geq 0$
    

30. $x^2-5x+4<0$

"Ne sors pas d'ici sans continuer cet entraînement ! Si tu le fais, c'est que tu as franchi une étape essentielle et que tu possèdes désormais la clé pour résoudre toutes les équations quadratiques. En maîtrisant ce sujet, tu auras acquis une compétence fondamentale qui te permettra d'aborder tous les défis mathématiques avec confiance. Une fois que tu as bien compris et résolu ces exercices, tu seras prêt à passer à d'autres choses, mais pour l'instant, concentre-toi sur ce travail. C'est ici que se trouve le secret de ta réussite, alors n'abandonne pas maintenant. Chaque équation que tu résous te rapproche de la maîtrise totale de ce sujet. Tu as la clé, utilise-la pour ouvrir la porte de ton succès !"