Résolution d’équations du premier degré grâce aux principes d’addition et de multiplication

 

La résolution d’une équation du premier degré repose sur l’idée de conserver l’égalité tout en isolant l’inconnue. Pour ce faire, les notions d’opposé et d’élément neutre de l’addition (0) sont fondamentales. En effet, pour éliminer un terme ajouté à l’inconnue, on ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. Par exemple, dans x +5 =12 on ajoute −5 à  chaque membre pour obtenir 

$x+5-5=12-\mathrm{5 ,\; ce\; qui\; simplifie\; à\; x\; =7 .\; Cette\; manipulation\; montre\; comment\; l’opposé\; et\; le\; zéro\; permettent\; de\; simplifier\; l’équation\; tout\; en\; préservant\; l’égalité.}$

De la même manière, l’inverse et l’élément neutre de la multiplication (1) sont utilisés lorsque l’inconnue est multipliée par un coefficient. Pour isoler  x , on multiplie ou divise chaque membre par l’inverse de ce coefficient. Par exemple, si 3 x =9 , on multiplie les deux côtés par  ( l’inverse de 3) pour obtenir 3  x=3. 

$L’usage\; de\; l’inverse\; garantit\; que\; l’on\; respecte\; la\; balance\; de\; l’équation\; tout\; en\; ramenant\; le\; coefficient\; de\; l’inconnue\; à\; 1.$

Ces deux principes combinés 

— l’addition pour éliminer les termes constants et la multiplication pour neutraliser les coefficients 

— constituent la base de toute méthode systématique pour résoudre les équations du premier degré.

 Leur compréhension permet non seulement de simplifier rapidement les calculs, mais aussi de développer un raisonnement logique solide pour résoudre des équations plus complexes ou préparer le terrain pour les équations à plusieurs inconnues.

Partie 1 : Les règles des éléments neutres et des inverses

1. Addition et opposé

• L’opposé d’un nombre 
  $\mathrm{a est }$$-\mathrm{a , \; car }$$a+(-a)=0$

• Le 0 est l’élément neutre de l’addition : 

• $a+0=\mathrm{a\; .}$

2. Multiplication et inverse

• L’inverse d’un nombre 
  $a\mathrm{\ne }\mathrm{0\; est }$$\frac{1}{\mathrm{<div\; style="text-align:\; justify;">a</div><span\; class="katex"\; style="text-align:\; justify;"><span\; aria-hidden="true"\; class="katex-html"><span\; class="base"><span\; class="mord"><span\; class="mfrac"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist-s"> </span></span><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist"></span></span></span></span><span\; class="mclose\; nulldelimiter"></span></span></span></span></span><div\; style="text-align:\; justify;">,\; car </div>}}$$\mathrm{ \; \; \; \; et\; a}\times \frac{1}{a}=1$

• Le 1 est l’élément neutre de la multiplication : 

• $a \times 1 = a$

  .

Ces règles permettent de transformer une équation tout en conservant l’égalité, soit en supprimant un terme ajouté, soit en annulant un coefficient.

1️⃣ Opposé en addition

• Idée simple : L’opposé d’un nombre, c’est le nombre qui, ajouté au premier, donne zéro.

• Exemples :

  • 5 → opposé : -5, car 5 + (-5) = 0

  • -3 → opposé : 3, car -3 + 3 = 0

  • 2/3 → opposé : -2/3, car 2/3 + (-2/3) = 0

• Rappel : Le 0 est l’élément neutre de l’addition : ajouter 0 à un nombre ne change rien

•  (ex : 7 + 0 = 7, -5 + 0 = -5).

2️⃣ Inverse en multiplication

• Idée simple : L’inverse d’un nombre (différent de 0) est le nombre qu’on multiplie pour obtenir 1.

• Exemples :

  • 4 → inverse : 1/4, car 4 × 1/4 = 1

  • -5 → inverse : -1/5, car -5 × -1/5 = 1

  • 2/3 → inverse : 3/2, car (2/3) × (3/2) = 1

• Rappel : Le 1 est l’élément neutre de la multiplication : multiplier par 1 ne change rien 

•  (ex : 7 × 1 = 7, -5 × 1 = -5).

Exemples d’inverse :

1. Entiers :

• 2 → inverse : 1/2, car 2 × 1/2 = 1

• -3 → inverse : -1/3, car -3 × -1/3 = 1

• 5 → inverse : 1/5, car 5 × 1/5 = 1

2. Fractions :

• 3/4 → inverse : 4/3, car (3/4) × (4/3) = 1

• -2/5 → inverse : -5/2, car (-2/5) × (-5/2) = 1

• 7/2 → inverse : 2/7, car (7/2) × (2/7) = 1

3. Nombres mixtes ou décimaux simples :

• 0,5 → inverse : 2, car 0,5 × 2 = 1

• -1,25 → inverse : -0,8, car -1,25 × -0,8 = 1

Partie 2 : Utilisation dans la résolution d’équations du premier degré

1. Élimination d’un terme par addition

• Pour isoler 
  $x$$x + b = c$
  , on ajoute l’opposé de 
  $\mathrm{b\; aux\; deux\; côtés\; :}$

$$x + b + (-b) = c + (-b) \implies x = c - b$$

2. Annulation d’un coefficient par multiplication

• Pour isoler 
  $x$$ax=\mathrm{c \; \; \; (}$$a\mathrm{\ne }\mathrm{0),\; on\; multiplie\; chaque\; côté\; par\; l’inverse\; de }$$a$
   :

$$a x \times \frac{1}{a} = c \times \frac{1}{a} \implies x = \frac{c}{a}$$

Exemple combiné :

$$3x + 5 = 14 \quad \text{(supprimer 5 : addition de } -5)$$

$$3x = 9 \quad \text{(diviser par 3 : multiplication par } \frac{1}{3})$$

$$x = 3$$

1️⃣ Élimination d’un terme par addition (opposé)

• Exemple 1 :

$$x + 7 = 12$$

On ajoute l’opposé de 7, soit -7 :

$$x + 7 - 7 = 12 - 7 \implies x = 5$$

• Exemple 2 avec fraction :

$$x + \frac{2}{3} = 1$$

On ajoute l’opposé de 2/3, soit -2/3 :

$$x + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} \implies x = \frac{1}{3}$$

2️⃣ Annulation d’un coefficient par multiplication (inverse)

• Exemple 1 :

$$3x = 9$$

On multiplie par l’inverse de 3, soit 1/3 :

$$3x \times \frac{1}{3} = 9 \times \frac{1}{3} \implies x = 3$$

• Exemple 2 avec fraction :

$$\frac{2}{5}x = \frac{4}{3}$$

On multiplie par l’inverse de 2/5, soit 5/2 :

$$x = \frac{4}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$

• Exemple combiné (addition + multiplication) :

$$\frac{3}{4}x + 5 = 8$$

1. Éliminer 5 : 
   $\frac{3}{4}x + 5 - 5 = 8 - 5 \implies \frac{3}{4}x = 3$
   
   

2. Multiplier par l’inverse de 3/4, soit 4/3 :

$$x = 3 \times \frac{4}{3} = 4$$

Pour bien retenir ces deux principes — l’opposé et l’élément neutre en addition, ainsi que l’inverse et l’élément neutre en multiplication — rien ne vaut l’entraînement régulier. La théorie seule ne suffit pas : il faut manipuler les nombres, ajouter leur opposé, multiplier par leur inverse, et voir le résultat apparaître. Pour cela, prenez le temps de résoudre au moins cinq exercices pour chaque type de situation : cinq exercices où il faut éliminer un terme par addition et cinq exercices où il faut annuler un coefficient par multiplication. Cette pratique régulière permet de mémoriser les méthodes et de les appliquer instinctivement lors de la résolution d’équations du premier degré.

1️⃣ Élimination par addition (opposé)

1. $x+8=15$

2. $x - 4 = 10$

3. $\frac{2}{5}+x=1$

4. $x+\frac{7}{3}=5$

5. $-3 + x = 0$

2️⃣ Annulation d’un coefficient par multiplication (inverse)

1. $3x = 12$
   

2. $-5x=20$

3. $\frac{2}{3}x = 4$
   

4. $-\frac{7}{2}x=14$

5. $0,5x=3$