Équations et Inéquations du Premier Degré

Révision du programme de Maths 3ieme année Collège

Équations et Inéquations du Premier Degré : Comprendre et Résoudre

Les équations et inéquations du premier degré sont des concepts fondamentaux en mathématiques. Elles apparaissent fréquemment dans les programmes scolaires et sont également utilisées dans de nombreux domaines pratiques, comme la gestion financière, la physique, et l'économie. Maîtriser ces concepts est donc essentiel pour réussir en mathématiques et pour appliquer ces compétences dans la vie de tous les jours.

1. L’Équation du Premier Degré

Une équation du premier degré est une égalité dans laquelle l’inconnue (généralement notée $x$) apparaît avec un exposant égal à 1. Cela signifie que l’inconnue n'est pas élevée à une puissance, elle est simplement multipliée par un coefficient.

Forme générale d’une équation du premier degré :

$$ax + b = 0$$

Où :

• a est le coefficient de $x$,

• b est une constante,

• x est l’inconnue.

Résolution d’une équation du premier degré :

1. Isoler l’inconnue : Pour résoudre l’équation, on cherche à isoler $x$.

2. Appliquer les opérations inverses : On effectue des opérations comme l'addition, la soustraction, la multiplication, ou la division pour isoler $x$.

Exemple :

Résoudre l'équation suivante :

$$\mathrm{<br>}$$

Étapes de résolution :

1. Ajouter 5 des deux côtés de l’équation :

$$3x = 10 + 5$$
$$3x = 15$$

2. Diviser chaque côté de l’équation par 3 :

$$x = \frac{15}{3}$$ $$x = 5$$

Solution : $x = 5$

2. L’Inéquation du Premier Degré

Une inéquation du premier degré est une inégalité qui contient une inconnue. Elle est similaire à l’équation du premier degré, mais au lieu d’une égalité, on a une relation d'ordre comme $<$, $>$, $\leq$, ou $\geq$.

Forme générale d’une inéquation du premier degré :

$$ax + b \ \ {<, >, \leq, \geq} \ 0$$

Résolution d’une inéquation du premier degré :

La méthode de résolution d’une inéquation est similaire à celle d’une équation, mais il y a une différence importante : lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le signe de l’inégalité.

Exemple :

Résoudre l’inéquation suivante :

$$2x + 3 \leq 7$$

Étapes de résolution :

1. Soustraire 3 des deux côtés de l’inéquation :

$$2x \leq 7 - 3$$
$$2x \leq 4$$

2. Diviser chaque côté de l’inéquation par 2 :

$$x \leq \frac{4}{2}$$ $$x \leq 2$$

Solution : $x \leq 2$

3. Principes à retenir pour les équations et inéquations du premier degré :

• Addition et soustraction : On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés de l’équation ou de l’inéquation sans changer la solution.

• Multiplication et division : Lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre positif, l'inégalité reste inchangée. Cependant, si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le signe de l’inégalité.

4. Applications pratiques des équations et inéquations du premier degré

Les équations et inéquations du premier degré sont souvent utilisées dans des situations concrètes telles que :

• Budget personnel : Calculer combien vous pouvez dépenser en fonction de vos revenus.

• Temps de travail : Résoudre des problèmes liés aux horaires de travail et à la durée des tâches.

• Calcul de distances : Utiliser des formules de mouvement rectiligne uniforme pour déterminer le temps de trajet en fonction de la vitesse.

Conclusion

Les équations et inéquations du premier degré sont des outils puissants pour résoudre une large gamme de problèmes mathématiques et pratiques. En comprenant les principes de base et en vous entraînant régulièrement, vous pourrez résoudre des problèmes avec facilité et efficacité. Que vous soyez étudiant ou que vous utilisiez ces concepts dans votre vie quotidienne, la maîtrise de ces équations et inéquations est essentielle pour progresser en mathématiques et dans bien d'autres domaines.

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