La Fonction Linéaire et la Fonction Affine : Comprendre les Bases

Les fonctions sont des outils mathématiques très importants dans de nombreux domaines, y compris la physique, l'économie et bien d'autres. Parmi les types de fonctions que l'on rencontre en mathématiques, les fonctions linéaires et affines sont des concepts essentiels, surtout au niveau de la 3ème. Dans cet article, nous allons explorer ces deux types de fonctions de manière simple et claire.

1. La Fonction Linéaire

Une fonction linéaire est une fonction qui peut être représentée par une équation de la forme :

$f(x) = ax$

où a est un nombre constant, appelé le coefficient directeur. Cette fonction a des caractéristiques spécifiques :

• Passage par l'origine : Le graphe de la fonction linéaire passe toujours par le point $(0, 0)$, c'est-à-dire l'origine du repère.

• Propriétés de la droite : Le graphique d'une fonction linéaire est une droite qui a pour pente le coefficient $a$.

Exemple de fonction linéaire :

Prenons l'exemple de la fonction :

$f(x) = 2x$

Le graphe de cette fonction est une droite passant par l'origine et ayant une pente de 2. Cela signifie que pour chaque unité d'augmentation de x,  la valeur de $f(x)\; augmente\; de\; 2\; unités.$

Interprétation :

Si vous avez une fonction linéaire, cela signifie qu'il y a une relation proportionnelle entre $\mathrm{x\; et }$$f(x)$. 

Par exemple, si vous êtes payé 2 euros par heure, la fonction représentant votre salaire serait linéaire, car votre salaire augmente proportionnellement avec le nombre d'heures travaillées.

2. La Fonction Affine

Une fonction affine est une généralisation de la fonction linéaire. Elle peut être représentée par l'équation :

$f(x)=ax+b$

où a est toujours le coefficient directeur et b est une constante qui représente l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'endroit où la droite coupe l'axe vertical (l'axe des ordonnées).

Exemple de fonction affine :

Prenons l'exemple de la fonction :

$f(x) = 2x + 3$

Le graphe de cette fonction est une droite, mais contrairement à la fonction linéaire, elle ne passe pas par l'origine. Ici, la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0,3).$

Interprétation :

Une fonction affine décrit une situation où il y a une relation linéaire entre $x$ et $f(x)$, mais avec un décalage vertical. Par exemple, si vous payez une somme fixe de 3 euros pour un service (représentée par $b$) plus 2 euros par heure de travail (représentée par $a$), votre salaire total peut être exprimé par une fonction affine. Ici, $b=\mathrm{3 \; correspond\; à\; la\; somme\; de\; départ\; et }$$a = 2$ représente la rémunération par heure.

3. Différences entre Fonction Linéaire et Fonction Affine

Critère	FonctionLinéaire	Fonction Affine
Forme	$f(x) = ax$	$f(x) = ax + b$
Passage par l'origine	Oui, toujours	Non, la fonction peut couper l'axe des ordonnées ailleurs que l'origine
Relation entre $x$ et $f(x)$	Proportionnelle	Linéaire, mais avec un décalage

4. Représentation Graphique

4.1- Fonction Linéaire :

Pour représenter graphiquement une fonction linéaire, on trace une droite passant par l'origine, et dont la pente est donnée par le coefficient $a$. Par exemple, pour $f(x) = 2x$, la pente de la droite est de 2, ce qui signifie que pour chaque unité de $x$, la valeur de $f(x)$ double.

4.2- Fonction Affine :

La fonction affine, quant à elle, est aussi représentée par une droite, mais cette droite ne passe pas nécessairement par l'origine. Elle coupe l'axe des ordonnées en un point déterminé par $b$. Par exemple, pour $f(x) = 2x + 3$, la droite coupe l'axe des ordonnées en $(0, 3)$

Conclusion

Les fonctions linéaires et affines sont des concepts très utiles en mathématiques. Elles permettent de modéliser de nombreuses situations de la vie réelle où une variable dépend d'une autre de manière proportionnelle ou linéaire, mais avec ou sans décalage. Comprendre la différence entre ces deux types de fonctions est essentiel pour maîtriser les bases des fonctions et aborder les études mathématiques avec plus de clarté.

À retenir :

• Fonction linéaire : Passe par l'origine et la relation entre $x$ et $f(x)$est proportionnelle.

• Fonction affine : Peut avoir un décalage vertical, représentée par $f(x)=ax+b$

Pour maîtriser pleinement les fonctions linéaires et affines, il est essentiel de pratiquer régulièrement et de travailler sur des exercices variés. Je vous invite à traiter cette série d'exercices pour approfondir vos connaissances et renforcer votre compréhension de cette discipline. Chaque exercice vous permettra de consolider vos compétences et de vous préparer efficacement aux évaluations. Ne laissez pas cette opportunité passer – lancez-vous dès maintenant et devenez un expert en la matière !

Téléchargé la série 

CLLIQUE CI DESSOUS