Les Critères de Divisibilité : Une Introduction aux Règles Fondamentales

 Les critères de divisibilité sont des outils essentiels en arithmétique pour déterminer si un nombre entier est divisible par un autre sans avoir à effectuer une division complète. Ces critères permettent de simplifier les calculs et d'analyser les propriétés des nombres rapidement. Dans cet article, nous explorerons les critères de divisibilité les plus courants et leur utilisation dans les mathématiques de base.

1. Qu'est-ce que la Divisibilité ?

Un nombre entier $a$ est divisible par un autre nombre entier $b$ (avec $b \neq 0$) si, après avoir divisé $\mathrm{a\; par }$$\mathrm{b,\; le\; reste\; est\; nul.\; Autrement\; dit,\; il\; existe\; un\; entier }$$\mathrm{q\; tel\; que\; :}$

$$a = b \times q$$

Si ce reste est nul, on dit que $a$ est divisible par $\mathrm{b,\; ou\; que }$$\mathrm{b\; divise }$$a$, et on écrit $b\mid \mathrm{a.}$

Par exemple, $12$est divisible par $3$ car $12 \div 3 = 4$ avec un reste de $0$.

2. Critères de Divisibilité

Il existe plusieurs critères pratiques pour déterminer si un nombre est divisible par un autre sans avoir à effectuer de calculs complexes. Voici les critères les plus utilisés pour les nombres de 2 à 11.

a) Divisibilité par 2 :

Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair, c'est-à-dire l'un des chiffres $0, 2, 4, 6, 8$.

Exemple : $246$ est divisible par 2, car le dernier chiffre est $6$ (pair).

b) Divisibilité par 3 :

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Exemple : $123$. La somme des chiffres est $1 + 2 + 3 = 6$, qui est divisible par 3, donc $123$ est divisible par 3.

c) Divisibilité par 4 :

Un nombre est divisible par 4 si les deux derniers chiffres du nombre forment un nombre divisible par 4.

Exemple : $\mathrm{312.\; Les\; deux\; derniers\; chiffres\; sont }$$\mathrm{12,\; qui\; est\; divisible\; par\; 4,\; donc }$$312$ est divisible par 4.

d) Divisibilité par 5 :

Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.

Exemple : $\mathrm{235\; est\; divisible\; par\; 5,\; car\; son\; dernier\; chiffre\; est }$$5$.

e) Divisibilité par 6 :

Un nombre est divisible par 6 si il est divisible à la fois par 2 et par 3. En d'autres termes, son dernier chiffre doit être pair et la somme de ses chiffres doit être divisible par 3.

Exemple : $\mathrm{246.\; Il\; est\; divisible\; par\; 2\; car\; son\; dernier\; chiffre\; est\; pair,\; et\; la\; somme\; de\; ses\; chiffres }$$2+4+6=\mathrm{12\; est\; divisible\; par\; 3,\; donc }$$\mathrm{246\; est\; divisible\; par\; 6.}$

f) Divisibilité par 9 :

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemple : $\mathrm{567.\; La\; somme\; des\; chiffres\; est }$$5+6+7=\mathrm{18,\; qui\; est\; divisible\; par\; 9,\; donc }$$567$ est divisible par 9.

g) Divisibilité par 10 :

Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

Exemple : $350$ est divisible par 10 car son dernier chiffre est $0$.

h) Divisibilité par 11 :

Un nombre est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair est un multiple de 11 (y compris 0).

Exemple : $2728$. La somme des chiffres de rang impair est $2 + 2 = 4$, et la somme des chiffres de rang pair est $7 + 8 = 15$. La différence est $15 - 4 = 11$, qui est divisible par 11. Donc, $2728$ est divisible par 11.

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3. Utilisation des Critères de Divisibilité

Les critères de divisibilité permettent de résoudre rapidement des problèmes d’arithmétique sans avoir besoin de faire des divisions longues. Ils sont particulièrement utiles dans des situations où il faut vérifier la divisibilité de grands nombres ou simplifier des expressions algébriques.

Exemples pratiques :

• Vérifier si un nombre est divisible par plusieurs nombres : Si un nombre est divisible par 2, 3 et 5, alors il est divisible par 30 (produit de ces nombres).

• Factorisation rapide : Les critères de divisibilité aident à décomposer un nombre en facteurs premiers, ce qui est utile dans des opérations comme la simplification de fractions ou la résolution d'équations.

4. Conclusion

Les critères de divisibilité sont des outils puissants et simples qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer de calculs longs. Ces critères sont essentiels non seulement pour les problèmes arithmétiques de base, mais aussi pour des domaines plus avancés des mathématiques, comme la factorisation, les nombres premiers, et les congruences. Maîtriser ces règles est fondamental pour développer une solide compréhension des nombres et des opérations arithmétiques.

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À retenir :

• Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible si son dernier chiffre est pair.

• Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible si son dernier chiffre est 0 ou 5.

• Divisibilité par 6 : Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible à la fois par 2 et par 3.

Ces critères facilitent les calculs et permettent de résoudre efficacement une multitude de problèmes liés à la divisibilité.