Sin, cos et tan d'un angle dans un triangle rectangle

Révision du programme de Maths 3ieme année Collège

Les fonctions trigonométriques sin, cos, et tan sont des concepts fondamentaux en trigonométrie, en particulier dans les triangles rectangles. Elles permettent de relier les angles d'un triangle rectangle à ses côtés. Comprendre ces fonctions est essentiel pour résoudre des problèmes de géométrie, de physique, et dans de nombreux autres domaines.

1. Le Triangle Rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dans lequel un des angles mesure 90° (un angle droit). Dans ce type de triangle, il existe deux autres angles qui sont complémentaires, c'est-à-dire qu'ils ajoutent 90° ensemble.

Dans un triangle rectangle, on parle de trois côtés :

• L'hypoténuse : c’est le côté le plus long, celui qui est en face de l'angle droit.

• Le côté adjacent : c'est le côté qui est adjacent (près) de l'angle que l’on considère, mais qui n'est pas l'hypoténuse.

• Le côté opposé : c’est le côté en face de l'angle que l'on considère.

2. Les Fonctions Trigonométriques

Sin (sinus)

Le sinus d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.

Formule :

$$\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$$

Exemple :
Si dans un triangle rectangle, l’angle $\theta$ a un côté opposé de 3 cm et une hypoténuse de 5 cm, le sinus de cet angle est :

$$\sin(\theta) = \frac{3}{5} = 0.6$$

Cos (cosinus)

Le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre le côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.

Formule :

$$\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$

Exemple :
Si le côté adjacent mesure 4 cm et l'hypoténuse est de 5 cm, le cosinus de cet angle est :

$$\cos(\theta) = \frac{4}{5} = 0.8$$

Tan (tangente)

La tangente d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent.

Formule :

$$\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$$

Exemple :
Si le côté opposé mesure 3 cm et le côté adjacent mesure 4 cm, la tangente de cet angle est :

$$\tan (\theta )=\frac{3}{4}=0.75$$

3. Résumé des relations trigonométriques

Pour un angle $\theta$ dans un triangle rectangle :

• Sinus : $\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

• Cosinus : $\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

• Tangente : $\tan (\theta )=\frac{\text{c}\hat{\text{o}}\text{t}\acute{\text{e}}\text{ oppos}\acute{\text{e}}}{\text{c}\hat{\text{o}}\text{t}\acute{\text{e}}\text{ adjacent}}$

4. Applications des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont largement utilisées pour résoudre des problèmes liés à la mesure d’angles ou de distances dans différents domaines, tels que :

• La navigation et la géométrie : calculer des distances ou des angles dans des triangles rectangulaires.

• La physique : en particulier dans l'étude des mouvements, des ondes et des forces.

• L'architecture et l'ingénierie : pour déterminer des pentes, des hauteurs ou des distances inaccessibles.

5. Exemple pratique

Supposons que nous ayons un triangle rectangle où l’hypoténuse mesure 10 cm, le côté adjacent à l'angle $\theta$ mesure 6 cm, et nous voulons calculer le sinus, le cosinus et la tangente de cet angle $\theta$.

1. Calcul du sinus :

$$\sin (\theta )=\frac{\text{c}\hat{\text{o}}\text{t}\acute{\text{e}}\text{ oppos}\acute{\text{e}}}{\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}=\frac{\sqrt{{10}^2-6^2}}{10}=\frac{8}{10}=0.8$$

2. Calcul du cosinus :

$$\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{6}{10} = 0.6$$

3. Calcul de la tangente :

$$\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{8}{6} = 1.33$$

Conclusion

Les fonctions trigonométriques sin, cos et tan sont des outils puissants pour résoudre des problèmes dans les triangles rectangles et au-delà. En maîtrisant ces fonctions, tu seras capable de calculer des distances, des angles, et de résoudre une multitude de problèmes pratiques en géométrie, physique, et même en architecture.

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