Un Repère Orthonormé sur R 2 : Définitions et Applications

 

Un Repère Orthonormé sur $\mathbb{R}^2$ : Définitions et Applications

Dans le domaine des mathématiques, en particulier en géométrie et en algèbre, le concept de repère orthonormé dans $\mathbb{R}^2$ est fondamental pour la représentation et l'analyse de figures géométriques. Ce système de repérage permet de situer des points et de décrire des objets dans le plan à l'aide de coordonnées. Voyons ici de manière détaillée ce qu'est un repère orthonormé sur $\mathbb{R}^2$, ainsi que son utilité et ses applications.

1. Définition d’un repère orthonormé

Un repère orthonormé dans $\mathbb{R}^2$ est un système de deux axes perpendiculaires (orthogonaux) et de longueur unitaire (normée) servant à localiser des points dans le plan. Ce repère est constitué de deux vecteurs de base qui sont à la fois orthogonaux (perpendiculaires) et de norme égale à 1.

 Ces vecteurs servent de référence pour définir des coordonnées dans le plan.

Dans $\mathbb{R}^2$, le repère est constitué de deux éléments principaux :

• L’axe des abscisses (x), généralement appelé axe $OX$.

• L’axe des ordonnées (y), généralement appelé axe $OY$.

Les deux axes se coupent en un point appelé origine $O$, et les directions de ces axes sont choisies comme suit :

• L'axe $OX$ est horizontal.

• L'axe $OY$est vertical.

2. Les propriétés d’un repère orthonormé

Les éléments clés d’un repère orthonormé sont :

• Orthogonalité : Les deux axes sont perpendiculaires, ce qui signifie que l’angle entre l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées est de $90^\circ$. Cela garantit que les vecteurs directeurs des axes $OX$et $OY$ sont orthogonaux.

• Normalisation : Les vecteurs de base associés aux axes ont une norme (longueur) égale à 1. Si $\mathbf{i}$ représente le vecteur de base de l’axe $OX$, et $\mathbf{j}$ celui de l’axe $OY$, alors $\|\mathbf{i}\| = \|\mathbf{j}\| = 1$.

Les vecteurs de base $\mathbf{i}$ et $\mathbf{j}$ peuvent être représentés dans le plan par les coordonnées :

$$\mathbf{i} = (1, 0) \quad \text{et} \quad \mathbf{j} = (0, 1)$$

Ces vecteurs permettent de représenter tous les points du plan en termes de coordonnées.

3. Les coordonnées d’un point dans $\mathbb{R}^2$

Dans un repère orthonormé, un point $P$ du plan est défini par ses coordonnées $(x, y)$, où :

• $x$ est la coordonnée x du point, indiquant sa position par rapport à l'axe $OX$.

• $y$ est la coordonnée y du point, indiquant sa position par rapport à l'axe $OY$.

Ainsi, pour trouver un point dans $\mathbb{R}^2$, on se déplace de $x$ unités sur l’axe des abscisses et de $y$ unités sur l’axe des ordonnées. L’ensemble des points dans $\mathbb{R}^2$ forme un plan cartésien.

4. Les vecteurs dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, tout vecteur peut être représenté par une combinaison linéaire des vecteurs de base $\mathbf{i}$ et $\mathbf{j}$. Si un vecteur $\vec{v}$ a pour coordonnées $(x_1, y_1)$, alors on peut l'écrire comme suit :

$$\vec{v} = x_1 \mathbf{i} + y_1 \mathbf{j}$$

Cela signifie que le vecteur $\vec{v}$ est composé de $x_1$ unités dans la direction de $\mathbf{i}$ (l’axe des abscisses) et de $y_1$ unités dans la direction de $\mathbf{j}$ (l’axe des ordonnées).

5. Représentation géométrique d’un repère orthonormé

Un repère orthonormé peut être représenté dans le plan comme suit :

• Le point d'origine $O$ est le centre du repère.

• Les axes $OX$ et $OY$ sont perpendiculaires et se croisent en $O$.

• Les coordonnées des points dans ce repère sont obtenues par des déplacements à partir de l'origine, suivant les directions définies par les axes.

Un repère orthonormé permet de représenter géométriquement les objets mathématiques comme des droites, des cercles, des vecteurs et des polygones.

6. Les applications du repère orthonormé

Le repère orthonormé est utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences. Voici quelques applications courantes :

a. Géométrie analytique :

Dans ce domaine, on utilise le repère orthonormé pour décrire des courbes et des figures géométriques à l’aide d’équations. Par exemple, l’équation d’une droite ou d’un cercle peut être exprimée facilement en utilisant les coordonnées d’un repère orthonormé.

b. Calcul des distances et des angles :

Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points $P(x_1, y_1)$ et $Q(x_2, y_2)$ peut être calculée à l’aide de la formule de distance :

$$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Les angles entre les vecteurs peuvent également être déterminés en utilisant le produit scalaire, ce qui est facilité par la présence d’un repère orthonormé.

c. Mécanique et physique :

En physique, un repère orthonormé est souvent utilisé pour décrire la position, la vitesse et l’accélération des objets dans un plan. Par exemple, la trajectoire d'un objet en mouvement peut être représentée par des équations dans un repère orthonormé.

d. Informatique et traitement d'image :

En informatique, les repères orthonormés sont utilisés pour traiter des images et des graphiques. Les pixels d’une image sont souvent représentés par des coordonnées dans un repère orthonormé.

Conclusion

Le repère orthonormé dans $\mathbb{R}^2$est un outil puissant qui permet de visualiser et de résoudre une multitude de problèmes mathématiques et pratiques. En géométrie, en physique, en informatique et dans bien d'autres domaines, ce repère est essentiel pour comprendre la structure du plan et pour effectuer des calculs de manière précise et intuitive. La simplicité et la clarté de sa représentation en font un élément clé de l’apprentissage des mathématiques et des sciences appliquées.